〖dN〗_2/dt=λ_1 N_1-λ_2 N_2 〖dN〗_2/dt=λ_1 N_01 e^(-λ_1 t)-λ_2 N_2 〖dN〗_2/dt+λ_2 N_2=λ_1 N_01 e^(-λ_1 t) 〖dN〗_2/dt (e^(λ_2 t) )+λ_2 N_2 (e^(λ_2 t) )=λ_1 N_01 e^(〖-λ〗_1 t) (e^(λ_2 t) ) 〖dN〗_2/dt e^(λ_2 t)+λ_2 N_2 e^(λ_2 t)=λ_1 N_01 e^(〖λ_2-λ〗_1 )t d/dt (N_2 e^(λ_2 t) )=λ_1 N_01 e^(〖λ_2-λ〗_1 )t ∫▒(N_2 e^(λ_2 t) )d=∫_0^t▒〖λ_1 N_01 e^(〖λ_2-λ〗_1 )t dt〗 N_2 e^(λ_2 t) ■(t@⋮@0)=(λ_1 (N_01 e^(λ_2-λ_1 )t ))/((λ_2-λ_1 ) ) ■(t@⋮@0) N_2 e^(λ_2 t)-N_2 e^((0))=(λ_1 (N_01 e^(λ_2-λ_1 )t ))/((λ_2-λ_1 ) )-(λ_1 (N_01 e^((0)) ))/((λ_2-λ_1 ) ) N_2 e^(λ_2 t)-N_02=(λ_1 (N_01 e^(λ_2-λ_1 )t ))/((λ_2-λ_1 ) )-(λ_1 (N_01 ))/((λ_2-λ_1 ) ) N_2 e^(λ_2 t)=(λ_1 (N_01 e^(λ_2-λ_1 )t ))/((λ_2-λ_1 ) )-(λ_1 (N_01 ))/((λ_2-λ_1 ) )+N_02 N_2 e^(λ_2 t)=(λ_1 (N_01 e^(λ_2-λ_1 )t )-λ_1 (N_01 ))/((λ_2-λ_1 ) )+N_02 N_2 e^(λ_2 t)=(λ_1 N_01 (e^(λ_2-λ_1 )t-1))/((λ_2-λ_1 ) )+N_02 N_2 (t)=1/e^(λ_2 t) ((λ_1 N_01 (e^(λ_2-λ_1 )t-1))/((λ_2-λ_1 ) )+N_02 ) Therefore, our values for 218Po will be: N_(〖218〗_Po ) (5 min)=1/e^(0.224〖min〗^(-1) )(5 min) ((0.000126〖min〗^(-1) )(47,600,000 Atoms)(e^((0.224〖min〗^(-1) )-(0.000126〖min〗^(-1) ) )(5 min) -1)/(((0.224〖min〗^(-1) )-(0.000126〖min〗^(-1) ) ) )+(2,680 Atoms) ) N_(〖218〗_Po ) (5 min)=18,910 atoms N_(〖218〗_Po ) (500 min)=1/e^(0.224〖min〗^(-1) )(500 min) ((0.000126〖min〗^(-1) )(47,600,000 Atoms)(e^((0.224〖min〗^(-1) )-(0.000126〖min〗^(-1) ) )(500 min) -1)/(((0.224〖min〗^(-1) )-(0.000126〖min〗^(-1) ) ) )+(2,680 Atoms) ) N_(〖218〗_Po ) (500 min)=25,150 Atoms Converting back to activity: A_(〖218〗_Po ) (5 min)=λ_(〖218〗_Po ) N_(〖218〗_Po ) (5 min)=(0.224〖min〗^(-1) )(18,910 atoms)(1min/60s) ▭(A_(〖218〗_Po ) (5 min)=70.60 Bq) A_(〖218〗_Po ) (500 min)=λ_(〖218〗_Po ) N_(〖218〗_Po ) (500 min)=(0.224〖min〗^(-1) )(25,150 Atoms)(1min/60s) ▭(A_(〖218〗_Po ) (500 min)=93.89 Bq) Continuing down the decay chain: 〖dN〗_3/dt=λ_2 N_2-λ_3 N_3 〖dN〗_3/dt=λ_2/e^(λ_2 t) ((λ_1 N_01 (e^(λ_2-λ_1 )t-1))/((λ_2-λ_1 ) )+N_02 )-λ_3 N_3 〖dN〗_3/dt+λ_3 N_3=λ_2/e^(λ_2 t) ((λ_1 N_01 (e^(λ_2-λ_1 )t-1))/((λ_2-λ_1 ) )+N_02 ) 〖dN〗_3/dt (e^(λ_3 t) )+λ_3 N_3 (e^(λ_3 t) )=λ_2/e^(λ_2 t) ((λ_1 N_01 (e^(λ_2-λ_1 )t-1))/((λ_2-λ_1 ) )+N_02 )(e^(λ_3 t) ) d/dt (N_3 e^(λ_3 t) )=λ_2 e^(λ_3-λ_2 )t ((λ_1 N_01 (e^(λ_2-λ_1 )t-1))/((λ_2-λ_1 ) )+N_02 ) d/dt (N_3 e^(λ_3 t) )=((λ_2 λ_1 N_01 (e^(λ_3-λ_1 )t-e^(λ_3-λ_2 )t ))/((λ_2-λ_1 ) )+〖λ_2 e^(λ_3-λ_2 )t N〗_02 ) ∫▒(N_3 e^(λ_3 t) )d=∫_0^t▒((λ_2 λ_1 N_01 (e^(λ_3-λ_1 )t-e^(λ_3-λ_2 )t ))/((λ_2-λ_1 ) )+〖λ_2 e^(λ_3-λ_2 )t N〗_02 ) dt (N_3 e^(λ_3 t) ) ■(t@⋮@0)=∫_0^t▒((λ_2 λ_1 N_01 (e^(λ_3-λ_1 )t-e^(λ_3-λ_2 )t ))/((λ_2-λ_1 ) )) dt+∫_0^t▒(〖λ_2 e^(λ_3-λ_2 )t N〗_02 ) dt N_3 e^(λ_3 t)-N_03=(λ_2 λ_1 N_01)/((λ_2-λ_1 ) ) ∫_0^t▒(e^(λ_3-λ_1 )t-e^(λ_3-λ_2 )t )dt+λ_2 N_02 ∫_0^t▒(e^(λ_3-λ_2 )t ) dt We know that N3 at t=0 is 0, so the term can be dropped. N_3 e^(λ_3 t)=(λ_2 λ_1 N_01)/((λ_2-λ_1 ) ) (∫_0^t▒(e^(λ_3-λ_1 )t )dt-∫_0^t▒(e^(λ_3-λ_2 )t )dt)+λ_2 N_02 ∫_0^t▒(e^(λ_3-λ_2 )t ) dt N_3 e^(λ_3 t)=(λ_2 λ_1 N_01)/((λ_2-λ_1 ) ) (e^(λ_3-λ_1 )t/((λ_3-λ_1 ) ) ■(t@⋮@0)-e^(λ_3-λ_2 )t/((λ_3-λ_2 ) ) ■(t@⋮@0))+λ_2 N_02 (e^(λ_3-λ_1 )t/((λ_3-λ_1 ) ) ■(t@⋮@0)) N_3 e^(λ_3 t)=(λ_2 λ_1 N_01)/((λ_2-λ_1 ) ) (e^(λ_3-λ_1 )t/((λ_3-λ_1 ) )-1/((λ_3-λ_1 ) )-e^(λ_3-λ_2 )t/((λ_3-λ_2 ) )+1/((λ_3-λ_2 ) ))+λ_2 N_02 (e^(λ_3-λ_2 )t/((λ_3-λ_2 ) )-1/((λ_3-λ_2 ) )) N_3 e^(λ_3 t)=(λ_2 λ_1 N_01)/((λ_2-λ_1 ) ) ((e^(λ_3-λ_1 )t-1)/((λ_3-λ_1 ) )+(1-e^(λ_3-λ_2 )t)/((λ_3-λ_2 ) ))+λ_2 N_02 ((e^(λ_3-λ_2 )t-1)/((λ_3-λ_2 ) )) N_3 (t)=1/e^(λ_3 t) ((λ_2 λ_1 N_01)/((λ_2-λ_1 ) ) ((e^(λ_3-λ_1 )t-1)/((λ_3-λ_1 ) )+(1-e^(λ_3-λ_2 )t)/((λ_3-λ_2 ) ))+λ_2 N_02 ((e^(λ_3-λ_2 )t-1)/((λ_3-λ_2 ) )) ) N_3 (t)=1/e^(0.0359)(t) ((2.82∙〖10〗^(-5) )(47,600,000 Atoms)/((0.224) ) ((e^(0.0358)t-1)/((0.0358) )+(1-e^(-.188)t)/((-.188) ))+(0.224)(2,680 Atoms)((e^(-.188)t-1)/((-.188) )) ) WHY U KEEP CRASHING EQUATION EDITOR? IT JUST DECAY EQUATION.